Factorisation d'un polynôme (2) - Corrigé

Énoncé

On note $P$ le polynôme défini sur $\mathbb{C}$ par $P(z)=6z^4-7z^3+3z^2-7z-3$ .

1. Montrer que $-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ est racine de $P$ .

2. En déduire une écriture de $P$ comme produit de deux polynômes de degré supérieur ou égaux à $1$ .

Solution
1.  $P(-{\displaystyle \frac{1}{3}})=6\times {(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^4-7\times {(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^3+3\times {(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^2-7\times (-{\displaystyle \frac{1}{3}})-3={\displaystyle \frac{6}{81}}+{\displaystyle \frac{7}{27}}+{\displaystyle \frac{3}{9}}+{\displaystyle \frac{7}{3}}-3={\displaystyle \frac{6+21+27+189-243}{81}}=0$

donc $-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ est racine de $P$ .
2.  $P$ est de degré $4$ et $-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ est racine de $P$ . Soit donc $a,b,c$ et $d$ des réels tels que, pour tout $z\in \mathbb{C}$ , $P(z)=(z-(-{\displaystyle \frac{1}{3}}))(a{z}^3+b{z}^2+cz+d)=(z+{\displaystyle \frac{1}{3}})(a{z}^3+b{z}^2+cz+d)$ .
On a pour tout $z\in \mathbb{C}$ , $(z+{\displaystyle \frac{1}{3}})(a{z}^3+b{z}^2+cz+d)=a{z}^4+b{z}^3+c{z}^2+dz+{\displaystyle \frac{a}{3}}{z}^3+{\displaystyle \frac{b}{3}}{z}^2+{\displaystyle \frac{c}{3}}z+{\displaystyle \frac{d}{4}}=a{z}^4+(b+{\displaystyle \frac{a}{3}})z^3+(c+{\displaystyle \frac{b}{3}})z^2+(d+{\displaystyle \frac{c}{3}})z+{\displaystyle \frac{d}{3}}$

Donc pour que, pour tout $z\in \mathbb{C}$ , $P(z)=(z+{\displaystyle \frac{1}{3}})(a{z}^3+b{z}^3+cz+d)$ il suffit (et il faut) que :
$\{\begin{array}{l}a=6\\ b+{\displaystyle \frac{1}{3}}a=-7\\ c+{\displaystyle \frac{1}{3}}b=3\\ d+{\displaystyle \frac{1}{3}}c=-7\\ {\displaystyle \frac{1}{3}}d=-3\end{array}$

Or,

$\{\begin{array}{l}a=6\\ a=3\times (-7-b)\\ b=3\times (3-c)\\ c=3\times (-7-(-9))\\ d=-9\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a=6\\ a=3\times 2\\ b=-9\\ c=6\\ d=-9\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a=6\\ b=-9\\ c=6\\ d=-9\end{array}$ .

On a donc $P(z)=(z+{\displaystyle \frac{1}{3}})(6z^3-9z^2+6z-9)$ .