Factorisation d'un polynôme (2) - Corrigé

Énoncé

On note \(P\) le polynôme défini sur \(\mathbb{C}\) par \(P(z) = 6z^4 -7z^3 +3z^2 -7z -3\) .

1. Montrer que \(-\dfrac{1}{3}\) est racine de \(P\) .

2. En déduire une écriture de \(P\) comme produit de deux polynômes de degré supérieur ou égaux à \(1\) .

Solution
1.  \(P \left( - \dfrac{1}{3} \right) =6 \times \left( - \dfrac{1}{3} \right)^4-7 \times \left( - \dfrac{1}{3} \right)^3+3 \times \left( - \dfrac{1}{3} \right)^2-7 \times \left( - \dfrac{1}{3} \right) -3= \dfrac{6}{81} + \dfrac{7}{27} + \dfrac{3}{9} + \dfrac{7}{3} - 3= \dfrac{6+21+27+189-243}{81} = 0\)

donc \(- \dfrac{1}{3}\) est racine de \(P\) .
2.  \(P\) est de degré \(4\) et \(- \dfrac{1}{3}\) est racine de \(P\) . Soit donc \(a, b, c\) et \(d\) des réels tels que, pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , \(P(z) = \left( z-\left(-\dfrac{1}{3} \right) \right)(az^3+bz^2+cz+d)= \left( z + \dfrac{1}{3} \right)(az^3+bz^2+cz+d)\) .
On a pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , \(\left( z + \dfrac{1}{3} \right)(az^3+bz^2+cz+d) = az^4+ bz^3 + cz^2 +dz + \dfrac{a}{3}z^3 + \dfrac{b}{3}z^2 + \dfrac{c}{3}z + \dfrac{d}{4} =a z^4 + \left( b+\dfrac{a}{3} \right) z^3+ \left( c+\dfrac{b}{3} \right) z^2+ \left( d+\dfrac{c}{3} \right) z+ \dfrac{d}{3}\)

Donc pour que, pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , \(P(z) = \left( z + \dfrac{1}{3} \right)(az^3+bz^3+cz+d)\) il suffit (et il faut) que :
\(\begin{cases}a = 6 \\b + \dfrac{1}{3}a = -7 \\c + \dfrac{1}{3}b = 3 \\d + \dfrac{1}{3}c = -7 \\\dfrac{1}{3}d = -3\end{cases}\)

Or,

\(\begin{cases}a = 6 \\a = 3 \times (-7-b) \\b = 3 \times (3-c) \\c = 3 \times (-7 -(-9)) \\d = -9\end{cases}\iff\begin{cases}a = 6 \\a = 3 \times 2 \\b = -9 \\c = 6 \\d = -9\end{cases}\iff\begin{cases}a = 6 \\b = -9 \\c = 6 \\d = -9\end{cases}\) .

On a donc \(P(z) = \left( z + \dfrac{1}{3} \right) (6z^3 -9z^2 +6z -9)\) .